Movimiento de partícula electrizada en un campo eléctrico

Nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, autor del blog (Mathematicorum y Yo), suele publicar en en el facebook problemas interesantes propuestos en otras latitudes, como este problema de un examen de ingreso al prestigioso Instituto Militar de ingeniería de Rio de Janerio (IME).

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
La figura presenta una fuente de luz y un objeto con carga +q y masa m que entra en una región donde existe un campo eléctrico E uniforme y sin influencia del campo gravitatorio. En el instante t = 0, sus velocidades horizontales iniciales son v y 2v, respectivamente. Halle:
a) El instante t en el que el objeto choca con la pantalla;
b) La ecuación de la posición de la sombra del objeto en la pantalla en función del tiempo;
c) La velocidad máxima de la sombra del objeto en la pantalla;

Resolución

Antes que nada diremos que todo partícula electrizada que se mueve en el interior de un campo electrostático uniforme, y sin considerar la influencia del campo gravitarorio ni la resistencia del aire, describe movimiento parábolico en donde su aceleración es paralela a la dirección del campo de fuerzas electrostático cuando su carga es positiva. Este movimiento es similar al movimiento de un proyectil lanzado a un campo gravitatorio uniforme.

A partir de la segunda ley de newton se deduce que la aceleración constante con que se mueve esta partícula electrizada es:

Para determinar el instante en que el objeto choca en la pantalla se analiza cinemáticamente el movimiento de la proyección vertical del parabólico (MRUV):

Para determinar la ecuación de la posición de la sombra del objeto sobre la pantalla, consideremos la posición del objeto y de la fuente de luz transcurrido un tiempo t.

Teniendo en cuenta que los triangulos rectángulos mostrados son semejantes, podemos plantear que (razón de semejanza):

De donde despejando x: