sábado, 25 de agosto de 2012

Examen Admision UNI 2012-II: Problema de funciones genera discrepancias

Los expertos del Grupo Generación de Oro, se han pronunciado respecto del problema de funciones propuesto en el reciente examen de admisión UNI 2012-II. Como mencionamos en un post anterior las academias preuniversitarias más importantes de nuestro medio NO se pusieron de acuerdo al dar la clave de este problema, y probablemente este sea uno de los problemas conceptuales de matemática más errado por los postulantes en este examen. La discrepancia está en el valor de verdad de la sentencia III. Para las academias Cesar Vallejo y Trilce esta es verdadera (V) y para las academias Pamer  y Saco Oliveros es falsa (F).
El problema en mención es el siguiente:
PROBLEMA
Respecto de la función f: A → R tal que:
Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
Resolución
Antes de dar nuestro punto de vista respecto de la tercera sentencia, debemos señalar que hay dos definiciones del objeto matemático llamado función (ver fuente). Pero la definición más difundida, que hace uso del concepto de codominio, es la siguiente.
Según esto, una función esta definida por tres conjuntos: su dominio A (conjunto de definición o conjunto de partida), que es el conjunto de existencia de ella misma, su codominio B (conjunto final o conjunto de llegada), que puede ser un subconjunto o un superconjunto del conjunto imagen, y el grafo de la función G(f), que es la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto elemento arbitrario del dominio.
Lo que diferencia una función de una relación es lo que se menciona en el item 3, que lo que quiere decir es que a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del codominio.
Según esta definición, puede darse el caso de que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto. Por ejemplo las funciones f: R → R con f(x) = x2 y la función g: R → R+ con f(x) = x2, son diferentes.
Mientras que el codominio es el conjunto de valores donde pueden estar los resultados, la imagen es el conjunto de resultados. En el ejemplo anterior la función f tiene como codominio el conjunto de los números reales y como conjunto imagen el conjunto de los números reales mayores que cero, ya que todo número real al cuadrado siempre es mayor o igual a cero.
Las funciones se pueden clasificar en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

INYECTIVA
Una función es inyectiva si a cada valor del dominio le corresponde un valor distinto en el codominio (en el dominio no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen). Matemáticamente:
Una función inyectiva es o bien monotonamente creciente o decreciente (ver función monótona).
Esquemáticamente, cualquier recta trazada en forma paralela al eje x corta a la gráfica de una función inyectiva en un solo punto.
SOBREYECTIVA
Una función es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos del codominio coinciden con el conjunto imagen. Matemáticamente:
Las funciones sobreyectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función sobreyectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido. 

BIYECTIVA
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.

En la siguiente gráfica se ejemplifican estos tipos de funciones.
Por ejemplo, la función f: A=[-4;4] → B=[0;16] NO es inyectiva ya que una recta paralela al eje x la corta en dos puntos diferentes, pero si el dominio se restringiera a A=[0;4] si lo sería. La función g: A=[-2;2] → B=[-8;8] SI es inyectiva ya que cualquier recta paralela al eje x la corta en un solo punto.

FUNCIÓN INVERSA
Una función dada f puede tener inversa o no, es decir puede existir otra función denominada función inversa que al componerla (ver función compuesta) con f resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1. Por ejemplo, la inversa de la función definida como f(x) = x2 es f -1(x) = √x ya que f(f -1(x)) = x.
La condición para que una función tenga inversa es que cada uno de los elemento del dominio le corresponda una y solo una imagen del codominio (función inyectiva); del mismo modo todos y cada uno de los elementos del codominio debe corresponderle uno y solo un elemento en el dominio (función sobreyectiva).

Resuniendo, la  condición para que una función tenga inversa es que esta sea biyectiva.
Por tanto como la función f del problema UNI-2012 no es sobreyectiva, la función no posee inversa y por tanto la tercera sentencia es Falsa (CLAVE C).
Me resulta claro que los que opinan que esta sentencia es Verdadera se basan en la otra definición de función (tradicional), de donde se colige que si una función es inyectiva entonces tiene inversa,
La gráfica de la función f, que se muestra a continuación, posee dos asíntotas: x = 2 ; y = 3. Como es esta es monótonamente decreciente, es inyectiva, pero no es sobreyectiva debido a que el codominio (números reales) no coincide con el conjunto imagen (la función NO está definida en todo el codominio ya que el conjunto imagen, de esta función es <3, ∞>).
A continuación,problemas relacionados e con este tema.
Un agradecimiento a todos los profesionales que aportaron en esta entrada (en orden alfabético):
Israel Diaz
Guillermo Pflucker
Oscar Reynaga
Enrique Romero

lunes, 20 de agosto de 2012

Examen Admision UNI 2012-II: Problema programación lineal sin clave

Según expertos del Grupo Generación de Oro, la respuesta correcta del problema de programación lineal propuesto en el reciente examen de admisión UNI 2012-II, NO aparece en las alternativas de opción múltiple dadas. Como mencionamos en un post anterior, la resolución propuesto por la academia Cesar Vallejo, que menciona que en dicho problema NO hay clave, es la que mas se acerca a la correcta, pero también ellos cometieron un sutil error (para las academias Trilce, Pamer y Saco Oliveros la clave es E).
El problema en mención es el siguiente:

PROBLEMA
Si la solución de Max {ax + by} se encuentra en x = 3, sujeto a:
                                          x  ≥  0
                                     y + x  ≤  4
                                     y - x  ≥  -2
determine en qué intervalo se encuentra a/b.
Resolución
La programación lineal es una herramienta que ha permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el mundo de los negocios, pues en esencia permite asignar recursos limitados entre actividades competitivas en forma óptima. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por escasos recursos necesarios para realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos que consumirá cada una de las actividades elegidas.
Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo (de la forma f(x,y) = ax + by), estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible.
La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto (< o >).
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.
Si existe una solución que optinice la función objetivo, ésta debe encontrase en uno de los vértices de la región fáctible.
En este problema determinamos la región factible resolviendo el sistema de inecuaciones dado.
Los vértices de la región fáctible son: A(0;-2), B(0;4) y C(3;1). Como (3;1) es la solución óptima de máximo, debe cumplirse que:
De esto se deduce que -a ≤ b ≤ a y por tanto a > 0.
Dividiendo ambos miembros de la inecuación anterior entre a y teniendo en cuenta que b tampoco puede ser cero, porque si esto fuese cierto no habría nada que maximizar, tenemos que:
Pero como del enunciado del problema se concluye que x = 3 es la única solución a/b no puede ser ni 1 ni -1. Si a = b = k entonces la función objetivo tendría la forma k(x + y) con k > 0, luego la recta definida por k(x + y) = c, no solo se produciría un máximo en x = 3 sino en los infinitos que pertenecen a la recta x + y = 4. Del mismo modo, si a = -b = k, se produciría un máximo en los infinitos que pertenecen a la recta y - x = -2.
Por tanto la solución de este problema es el conjunto:
Un agradecimiento a todos los profesionales que aportaron en esta entrada (en orden alfabético):
Guillermo Pflucker
Oscar Reynaga

viernes, 17 de agosto de 2012

Admisión UNI 2012-2: 1er puesto cómputo general

El cómputo general UNI 2012-II es WARTON CORDERO ALEJANDRO MIGUEL, de la academia CESAR VALLEJO, ingresó a Ingeniería Civil con un puntaje final acumulado de 1392.6 y un promedio de 17,407. Él participó en la reciente Olimpíada Internacional de Matemática (IMO 2012) en donde obtuvo una medalla de bronce y nuestro equipo peruano fue el que mejor performance tuvo a nivel latinoamericano.

Su performance por examen fue el siguiente:

Aptitud Académica y Cultura General: 425.6 (17.024)
Matemática: 546 (18.2)
Física y Química: 421 (16,84)

El segundo puesto es CCOPA YUGRA JESUS MARCOS (1er puesto en la modalidad dos primeros alumnos) del colegio PROLOG, ingresó a Ingeniería de Sistemas con un puntaje final acumulado de 1382.6 (apenas 10 puntos menos que el cómputo) y ganador de la Olimpiada Nacional de Matemática del año pasado (ONEM 2011).

El tercer puesto es FERNANDEZ CRUZ GUILLERMO ANDREE (2do puesto en la modalidad dos primeros alumnos) del colegio AMERICAN SISTEMS (Villa el Salvador), ingresó a Ingeniería Geológica con un puntaje final acumulado de 1370.8.

El cuarto puesto es INOCENTE FLORES ITALO ALONSO (2do puesto en la modalidad ordinario), ingresó a Ingeniería Civil con un puntaje final acumulado de 1331.

El quinto puesto es CONTRERAS MORAN KEVIN JEAN PAUL de la academia TRILCE, ingresó a Ingeniería Civil con un puntaje final acumulado de 1327.60.

El sexto puesto es PEREZ SALCEDO MARCO, ingresó a Ingeniería Civil con un puntaje final acumulado de 1323.00.

El septimo puesto es PANTOJA DIAZ DANIEL ENRIQUE de la academia TRILCE, ingresó a Ingeniería Mecatrónica con un puntaje final acumulado de 1304.80.

Enlaces relacionados:

Resultados concurso de admisión

Examen Admision UNI 2012-II: Matematicas


Faltan pocas horas para que se publiquen los resultados del proceso de admisión 2012-II a la Universidad Nacional de Ingeniería y mientras tanto les comento que en el examen de matemáticas del día miercoles 15 nadie hizo un puntaje perfecto.
He estado indagando por alli y me he entrerado que el examen no estuvo pulcramente confeccionado ya que tuvo hasta tres correcciones durante el proceso de evaluación. Esto puede haber influido en este resultado.
Por otro lado he encontrado, como ya se está haciedo costumbre, que las academias que publican sus resoluciones no han proporcionado las mismas claves a un par de problemas de álgebra propuestos ese día.
Hubo una pregunta en donde las academias Trilce y Cesar Vallejo la respuesta es C y para Pamer y Saco Oliveros la respuesta es B.
PROBLEMA
Las versiones de las academias respecto de este problema son:
Otra pregunta en donde para la academia Cesar Vallejo NO HAY CLAVE y para las academias Trilce, Pamer y Saco Oliveros la clave es E.
PROBLEMA
La versión de la Cesar Vallejo es:
y las versiones de Trilce y Pamer son:

miércoles, 15 de agosto de 2012

Carrera por el cómputo UNI 2012-II

Culminada la 2da etapa del proceso de admisión a la UNI, estos son los postulantes que pugnan por ser el cómputo general UNI 2012-II.
Como se aprecia en este cuadro, ninguno de los postulantes que figuran en esta tabla obtuvo una nota perfecta (20) en esta 2da prueba de matemáticas (ver columna etiquetada con NOTA2: N2).
Hasta ahora se mantiene en el primer lugar WARTON CORDERO ALEJANDRO MIGUEL, que erró en tres preguntas en esta prueba y es de la academia Cesar Vallejo, seguido por FERNANDEZ CRUZ GUILLERMO ANDREE, que erró en cuatro preguntas.
A los que mejor les fue en esta prueba es a CCOPA YUGRA JESUS MARCOS, del colegio PROLOG, a BAZAN MARTINEZ DANTE RAFAEL y a SEGURA CHAVESTA CHRISTIAN GUILLERMO que solo erraron en dos preguntas.
Los siguientes en este orden de merito son CONTRERAS MORAN KEVIN JEAN PAUL y PANTOJA DIAZ DANIEL ENRIQUE de la academia TRILCE, que erraron en cuatro preguntas.
El día viernes será la prueba de ciencias en donde cada pregunta buena de Física vale 15 puntos y de Química vale 10, como se aprecia en la tabla inferior.

Prueba de matemáticas (cortesia de la academia Trilce).