Penal fallado por Sergio Ramos ante el Bayern

PROBLEMA
Sergio Ramos, en el tiro de penales contra el Bayern de Munich, presa del pánico por la responsabilidad que tenía en sus botas, calcula mal los parámetros del lanzamiento y el balón, de masa m, es lanzado formando un ángulo π/4 rad con la vertical y con una velocidad igual a la mitad de la velocidad de escape. El balón nunca llegó a la portería contraria. Suponiendo conocido el radio y la masa de la Tierra, R y M respectivamente, y despreciando la rotación de la Tierra y el rozamiento del aire, determinar la altura máxima que se eleva el balón respecto de la superficie de la Tierra.

Resolución
La mínima rapidez con que debe lanzarse un proyectil para que escape de la atracción gravitatoria de un planeta (velocidad de escape) es:

donde M y R son la masa y el radio del planeta respectivamente, y según condición del problema, la velocidad de lanzamiento v_o es la mitad de la velocidad de escape v_e, es decir:

La máxima altura H del proyectil, respecto de la superficie, se dará cuando su velocidad v sea perpendicular su vector posición respecto del centro del planeta (punto B).

Por otro lado, como el proyectil se mueve en un campo de fuerzas centrales, el momento angular se conserva:

Finalmente, teniendo en cuenta la conservación de la energía mecánica del sistema planeta-proyectil (considerando la energía potencial gravitatoria.) tenemos que:

Reemplazando en esta ecuación, las dos ecuaciones anteriores, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

Resolviendo esta ecuación, usando fórmula cuadrática, tenemos que H = 0,194R.