lunes, 31 de diciembre de 2012

Problema polémico en el examen a la U del Callao

El día de ayer Domingo 30 de Diciembre se realizó el proceso de admisión a la Universidad Nacional del Callao 2012-2 y hubo un problema de Álgebra que generó alguna controversia (hasta ahora no entiendo porqué). El problema es el siguiente:
PROBLEMA
La figura es un esbozo del gráfico de la función y = p(x) = (x - a)(x - b)(x2 - 2x + c). Considerando que i = √-1, una de las raíces complejas de p(x) es.
Resolución
Como la gráfica de la función intersepta al eje x en los puntos x = -2 y x = -1 (raíces reales) se cumple que p(-2) = p(-1) = 0. A partir de esto se deduce que a = -2 y b = -1 (o al revés).
Por otro lado, como la gráfica de la ecuación intersepta al eje y en el punto y = 10 se cumple que p(0) = 10. A partir de esto podemos plantear la siguiente ecuación:
De esta ecuación concluimos que c = 5 y por tanto la expresión matemática de la función es:
De estos resultados concluimos que esta ecuación tendrá dos raíces reales y dos complejas. Para determinar las soluciones complejas tenemos que resolver la ecuación de segundo grado usando la fórmula cuadrática.
De donde se deduce que la respuesta del problema es D.

viernes, 28 de diciembre de 2012

Problema de temperatura de equilibrio térmico

Nuestro amigo y colega Oswaldo Farro, ha publicado en su muro del facebook un problema de entrenamiento para olimpiadas del equipo de la region de Novosibirsk en Rusia, que comparto con uds.
PROBLEMA
Un contenedor de agua tiene la forma de un prisma de tres caras donde el borde superior es horizontal. En el momento inicial, la temperatura del agua es una función lineal de la altura. En el punto más bajo de la temperatura del agua T1=4°C, y en la superior alcanza T2=13°C. Con el paso del tiempo, la temperatura en todo el recipiente se equilibró. Calcular la temperatura To de equilibrio. Considerar que las paredes del recipiente no absorben calor.
Resolución
Si tenemos dos cuerpos de masas m1 y m2 que se encuentran inicialmente a temperaturas T1 y T2, y solo hay intercambio de calor entre ellos, la temperatura de equilibrio térmico que alcanza este sistema después de un cierto tiempo es:
Si tenemos tres cuerpos de masas m1, m2 y m3 que se encuentran inicialmente a temperaturas T1, T2 y T3:
Esto indica que la temperatura de equilibrio térmico Teq de un sistema de cuerpos es la media ponderada de las temperaturas iniciales de los cuerpos.
Pero como en la mecánica newtoniana, el centro de masas (CM) de un sistema de partículas es la media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen, podriamos decir que si ubicamos en una recta numérica las temperaturas iniciales de las partes de un sistema termodinámico aislado, la temperatura de equilibrio térmico del sistema se encuentra ubicado en el centro de masas (o centro de gravedad) de estas temperaturas iniciales.
Observe como determino gráficamente, por criterio de centro de gravedad, la temperatura de equilibrio de un sistema formado por tres cuerpos de masas m1=m, m2=m y m3=2m que se encuentran inicialmente a temperaturas T1=20°C, T2=40°C y T3=60°C.

Dicho esto, planteemos el problema en cuestión.
Dividamos mentalmente el volumen de agua en secciones delgadas paralelas a la superficie libre del agua. Resulta fácil verificar que la masa y la temperatura de cada una de estas secciones aumenta linealmente con la altura medida desde el borde inferior (la masa de la sección mas baja es prácticamente cero).
A continuación se muestra un diagrama de temperaturas de todas estas secciones (hemos representado con una flecha hacia abajo las masas de las secciones delgadas que aumentan linealmente con la temperatura).
Por criterio de centro de gravedad, se deduce que la temperatura de equilibrio del sistema se encuentra dos veces mas alejado de la temperatura mas baja (4°C) que de la temperatura mas alta (13°C) y por tanto esta temperatura es de 10°C (recordar que el centro de gravedad un triangulo se encuentra en su baricentro).

jueves, 27 de diciembre de 2012

Choques inelásticos entre péndulos

Problema propuesto por Kósel (olimpiada Rusa 1994), adaptado por Llactahuaman (libro Olimpiadas de Física para principiantes), que lo he generalizado.
PROBLEMA
Ligados a ejes horizontales que pasan por los puntos O1, O2, O3, . . . On se encuentran n péndulos idénticos, conformados por esferillas de masa m y cuerdas de masa despreciable de longitud L. Estos puntos se encuentran sobre una misma vertical siendo la separación entre dos de estos puntos consecutivos igual a 2L. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. ¿Con qué velocidad horizontal mínima se debe lanzar la esferilla 1 del péndulo inferior para que la esferilla n del péndulo superior complete una vuelta completa alrededorde su eje? Asuma que todos los choques que se producen son completamente inelásticos. Dar respuesta en función de k = n(4n2 + 9n + 2):

La respuesta del problema es:

miércoles, 26 de diciembre de 2012

Mejor problema de Física del año 2012

Como sabrán, nuestro amigo Erico Fredy Palacios Loayza, autor del muy visitado blog peruano Matematica y Olimpiadas, realizó una selección de los mejores problemas propuestos este año. Esta selección que yo sepa no tiene precedentes en el mundo y el objetivo es la promover la investigación, la competencia y la difusión de los contenidos de cada uno de los cursos que propone Erico en esta elección (leer propuesta de Erico).
En esta oportunidad, y por segundo año consecutivo, un problema inédito mío es elegido como problema del año en el curso de Física, por lo cual me siento agradecido a las personas que votaron por mi. Esto me anima a seguir esforzándome en la difusión y en proponer cada vez mas contenidos de Física que permitan a los interesados de diferentes partes del mundo ahondar sus conocimientos en esta apasionante ciencia.
La novedad en el problema que propuse este año, es que el problema que propuse lo resuelvo usando un método inédito, solo conocido por un círculo muy pequeño de amigos y colegas, y espero que de esta manera se difunda mas este método de resolución.
El problema de Física ganador este año en la categoria nacional es:

PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s2).

El problema de Física ganador el año 2011 fue:

PROBLEMA
Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento.Expresar en téminos de la siguiente constante:

martes, 25 de diciembre de 2012

Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo

Navegando por la web me encontre con este interesante vídeo en el que nos muestran un listado de las 10 ecuaciones matemáticas que, según la opinión de los autores del mismo, cambiaron el mundo.


miércoles, 19 de diciembre de 2012

Ranking mejores problemas de Física del año 2012

Nuestro amigo Erico Fredy Palacios Loayza, autor del muy visitado blog peruano Matematica y Olimpiadas, eligirá este 25 de Diciembre, en una elección que no tiene precedentes en el mundo, los mejores problemas propuestos en el año 2012 (leer propuesta de Erico). Se elegirá dos problemas (uno nacional y otro internacional) de cada uno de los siguientes cursos: Aritmética, Algebra, Geometría, Trigonometría, Física, Química, Razonamiento Matemático y Biología.
Despues de evaluar los problemas de Física que he propuesto este año en este blog, mi candidato a mejor problema en la categoría nacional es:

PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s2).

Este problema lo propuse originalmente en un medio impreso en el año 1992 (¡hace 20 años!) y este año lo volví a proponer como Problemas de entrenamiento para la Olimpiadas (PROBLEMA 3) y lo he elegido porque considero original la forma como lo resuelvo.
Este problema se resuelve normalmente usando métodos de integración, como bien lo comenta nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez del blog Mathematicorum y Yo ya que se requiere cada vez una mayor fuerza conforme el cuerpo va saliendo a flote.
Como le comenté a Hugo, este tipo de problemas en donde un cuerpo se mueve muy lentamente en el interior de un liquido en reposo, lo resuelvo haciendo uso del concepto, críticado por algunos puristas, de energía potencial hidrostática, que no se encuentra en la literatura científica.



Mis candidatos a mejor problema internacional los propuso nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez a través de su cuenta del facebook.
El primero proviene de la olimpiada rusa del año 1985 y también fue propuesto hace un par de años en Brasil en su examen selectivo para las olimpiadas de Física (nivel intermedio).

PROBLEMA
Una línea de campo eléctrico emerge desde una carga puntual positiva +q1, bajo un ángulo α respecto de la línea que conecta a esta carga con una carga puntal negativa −q2. ¿Bajo qué ángulo β debería entrar la línea de campo eléctrico a la carga −q2?

El segundo es un problema del Instituto Indio de Tecnología.

PROBLEMA
Una esfera metálica de masa m y radio R, cuya superficie exterior es perfectamente reflactante, se coloca sobre una superficie rugosa en la forma que se indica. El coeficiente de fricción entre la esfera y el piso es µ. La esfera es irradiada con dos haces de luz láser A y B de frecuencia fA y fB desde lados opuestos como se muestra en la figura. Si los haces tienen intensidades IA e IB, determinar IA - IB para que la esfera se encuentre a punto de resbalar.

domingo, 16 de diciembre de 2012

Trabajo mínimo para sacar un hemisferio del agua

Este problema lo propuse originalmente en un medio impreso en el año 1992 (¡hace 20 años!) y este año lo volví a proponer como problemas de entrenamiento para la Olimpiadas (PROBLEMA 3).
PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s2).

Este problema se resuelve normalmente usando métodos de integración ya que se requiere cada vez una mayor fuerza conforme el cuerpo va saliendo a flote.
No obstante, este tipo de problemas en donde un cuerpo se mueve muy lentamente en el interior de un liquido en reposo, lo resuelvo haciendo uso del concepto, críticado por algunos puristas, de energía potencial hidrostática, que no se encuentra en la literatura científica.
Cuando un cuerpo se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido, se le puede asociar a la fuerza de empuje hidrostático una energía que la he denominado energía potencial hidrostática.
A continuación, resolveremos este problema teniendo en cuenta que el trabajo mínimo que un agente externo debe realizar para sacar la semiesfera del agua, es cuando esta se mueve muy lentamente (su energía cinética tiende a cero) y por tanto este trabajo es igual a la diferencia de sus energía potencial final e inicial.
Tomando como nivel de referencia una recta horizontal que pasa por el centro de gravedad de la semiesfera en el estado inicial, en el estado inicial solo existe energía potencial hidrostática y en el estado final solo existe energía potencial gravitatoria.
De donde reemplazando datos, tenemos:
Otro problema que he resuelto anteriormente, en donde aplico este concepto, es el que fue propuesto en un examen para profesores de Física de la corporación educativa TRILCE y donde fui criticado por algunos por hacerlo público, porque supuestamente era un examen interno. Vamos señores, la divulgación de la ciencia esta primero!

El problema es el siguiente:
PROBLEMA
Se deja flotar un cubo de arista igual a L = 20 cm en un recipiente que contiene aceite y agua como se muestra en la figura. Considerando ρcubo = 0,32 g/cm3, ρaceite = 0,8g/cm3 y ρagua = 1 g/cm3, hallar el trabajo mínimo necesario de una fuerza vertical hacia abajo que permite ubicar el cubo íntegramente sumergido en agua. (g = 10 m/s2)

A continuación, otros problemas similares.

PROBLEMA
Una capa gruesa de aceite con densidad de 0,8 g/cm3 se coloca en la parte superior del agua en un tanque. El área de la base del tanque es muy grande. Un cubo de magnesio se coloca en el tanque de tal manera que su cara superior está a 0,5 dm debajo del límite. El lado del cubo es de 2 dm y su densidad es de 1,7 g/cm3. El cubo se tira entonces de modo que su cara inferior esté 0,5 dm por encima del límite. ¿Cuánto trabajo se llevó a cabo?


PROBLEMA
Una pieza en forma de paralelepípedo de madera cuya área de la base es 1 dm2 y altura 4 m está flotando verticalmente en un estanque, debido a que su centro de masa no está en su centro geométrico. Para hacer que la madera se sumerga y flote en posición horizontal como se muestra, tenemos que ejercer una fuerza hacia abajo de F = 80 N en su extremo. Determine el trabajo realizado a la madera para moverlo de la posición inicial a la final.


PROBLEMA
Un contenedor metálico de forma de paralelepípedo de base cuadrada, cuya masa es de 13 kg, tiene una altura de 6 dm, lado de la base de 2 dm, y está lleno hasta la mitad de agua. El recipiente se coloca sobre su lado en la parte inferior de un depósito en forma de paralelepípedo, cuya área de la base es 20 dm2 y en la que el nivel de agua está a una altura de 4 dm. Encontrar el trabajo total que se requiere para poner de pie en posición vertical el recipiente metálico sobre su base cuadrada.

martes, 11 de diciembre de 2012

ITA 2013: Instituto Técnico de Aereonaútica - Brazil

Este fin de semana se realizó el proceso de admisión en el ITA (Instituto Técnico de Aereonaútica) de Sao Paulo - Brazil, uno de los mas exigentes de esta parte del mundo.
A continuación, les muestro algunos de los problemas propuestos en esta oportunidad:

PROBLEMA
En un experimento, tres cilindros idénticos están en contacto entre si, apoyados sobre una mesa y bajo la acción de una fuerza horizontal F, constante, aplicada en el momento en el centro de masa del cilindro de izquierdo, perpendiculares a su eje, como se muestra en la figura. Despreciando cualquier tipo de rozamiento, para los tres cilindros permanecen en contacto entre si, la aceleración causada por la fuerza debe ser tal que
Respuesta: A


PROBLEMA
Dos partículas, de masas m y M, están respectivamente fijadas a los extremos de una barra de longitud L y masa despreciable. Este sistema está apoyado en el interior una superficie semiesférica de radio r, de manera que se encuentra en equilibrio estático con m P ubicado en el borde P de la superficie y M en el punto Q, como se muestra en la figura. Despreciando las fuerzas de fricción, la relación entre las masas M y m es igual a.
Respuesta: A


En los extremos F y G de una cuerda, de masa despreciable, se fijan una partícula de masa m. Este sistema se encuenetra en equilibrio apoyado en una superficie cilíndrica sin fricción, de radio r, subtendiendo un ángulo de 90° y dispuestos simétricamente con respecto al vértice P del cilindro mostrado, como se muestra en la figura. Si la cuerda es ligeramente desplazada y comienza a deslizarse en sentido antihorario, el ángulo θ ≡ ∠FOP en que la partícula en el extremo F pierde el contacto con la superficie es tal que.
Respuesta: D


Una pequeña bola de masa m se lanza desde un punto P contra una pared lisa vertical con una velocidad vo cuya dirección forma un ángulo a con la horizontal. Supongamos que después de la colisión, la bola vuelve a su punto de lanzamiento a una distancia d de la pared, tal como se muestra en la figura. En esas condiciones, el coeficiente de restitución debe ser.
Respuesta: A


Una rampa mazisa de 120 kg inicialmente en reposo, apoyada sobre un piso horizontal, tiene una pendiente dada por tan θ = 3/4. Un cuerpo de 80 kg se desliza sobre esa rampa a partir del reposo, recorriendo 15 m hasta llegar al piso. Al final de este viaje, y sin tener en cuenta ningún tipo de fricción, la velocidad de la rampa con respecto al suelo es aproximadamente.
Respuesta: C


Cierto producto industrial está constituido de un envase duro lleno de aceite, de dimensiones LxLXd, que es transportado por un cinta transportadora que pasa a través de un sensor capacitivo de dos placas cuadradas y paralelas de lado L, separadas entre si una distancia ligeramente mayor que d, como se muestra en la figura. Cuando el producto está completamente insertado entre las placas, el sensor debe reconocer un valor de capacitancia Co. considere, sin embargo, que ha habido un derrame de aceite no deseado de manera que la medición de la capacitancia efectiva es C = 3/4 Co. Si las respectivas constantes dieléctricas del aceite y del aire son k = 2 y k = 1 respectivamente, y despreciando el efecto de la constante dieléctrica del envase, determine el porcentaje de volumen de petróleo derramado en relación a su volumen original.
Respuesta: B


Un rayo horizontal de de luz monocromática realiza un enfoque en un espejo plano vertical después de incidir en un prisma de 4° e índice retración n = 1,5. Considere el sistema inmerso en el aire y que tanto el rayo que emerge del prisma como el que se refleja en el espejo están en el plano del papel, perpendicular al plano del espejo, como se muestra en la figura. Elija la alternativa respectivamente que indica respectivamente el ángulo y el sentido en que debe ser girado en la que el espejo debe ser girado el espejo alrededor del eje perpendicular al plano del papel que pasa por el punto O, de manera que el rayo reflejado retorne paralelamente al rayo incidente en el prisma.
Respuesta: D


La figura muestra dos cascarones esfericos conductores concentricos en el vacío, descargadas, donde a y c son sus radios internos, y b y d sus rayos externos respectivamente. Luego, una carga puntual negativa se fija en el centro de los cascarones. Una vez establecido el equilibrio electrostático, respecto del potencial de las superficies esternas de los cascarones y el signo de la carga en la superficie de radio d, podemos afirmar, respectivamente, que.
Respuesta: E


Una espira circular de radio R y es recorrida por una corriente eléctrica i generando un campo magnético a su alrededor. Luego, en el mismo plano de la espira, pero en lados opuestos, a una distancia 2R de su centro se colocan dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos entre sí, recorridas por corrientes i1 e i2 no nulas, de sentidos opuestos, como se muestra en la figura. El valor de i y su sentido para el módulo de la inducción magnética resultante en el centro de la espira NO cambie son.
Respuesta: D


Una luna de masa m de un planeta distante, de masa M > m, describe una órbita elíptica con semieje mayor a y semieje menor b, teniendo el sistema una energía E. La ley de las áreas de Kepler relaciona su velocidad v de la Luna en el apogeo de su velocidad v' en su perigeo, esto es, v' (a - e) = v (a + e), donde e es la distancia del centro a uno de los focos de la elipse. En estas condiciones, podemos decir que.
Respuesta: A

Fuente: elitecampinas

sábado, 8 de diciembre de 2012

2do campeonato de Online Physics Brawl

Este Jueves 06 de Diciembre se realizó el 2do campeonato de Online Physics Brawl en donde participaron por internet equipos de todo el mundo de hasta cinco integrantes. En esta competencia se proponen un conjunto de problemas en idioma inglés de un nivel de dificultad medio y solo se ingresan las respuestas que obtienen los grupos con un cierto número de cifras significativas. Se permiten ingresar las respuestas hasta en cuatro oportunidades y se tiene en cuenta tambien el tiempo que se tarda en resolverlos.
Por experiencia, recomiendo que de alguna se manera resuelva el problema del idioma y no se confien completamente en las herramientas de traducción online proporcionados por varios sitios web.
Los problemas propuestos en esta oportunidad fueron los siguientes:

PROBLEMA 01
Imagíne una delgada varilla rígida homogénea de masa m = 1 kg y longitud l = 2 m, que está unido a un riel horizontal por un anillo de masa despreciable en su extremo, de modo que este puede deslizarse sin fricción. Cuando el anillo acelera a razón a = 5 m.s-2, la varilla forma un ángulo constante φ con la vertical. Encuentra este ángulo dado esta situación tiene lugar en la superficie de la Tierra, en presencia de la aceleración de la gravedad g = 10 m.s-2, despreciando los efectos de la resistencia del aire. Dar su respuesta en radianes.
Respuesta: φ = 0,46


PROBLEMA 02
Hay dos bolas de masa m y carga eléctrica q (con el mismo signo) que cuelgan de dos eslingas de longitud l fijados en el mismo punto. Estas se colocan en el aire con una de densidad ρa = 1,2 kg.m-3. Debido a la repulsión eléctrica de las bolas, las eslingas están formando un ángulo α. Si ponemos el mismo aparato en aceite de oliva con una permitividad relativa εr = 3 de densidad ρo = 900 kg.m-3, el ángulo sigue siendo el mismo. Considere que la permitividad del aire es el mismo que la del vacío. ¿Cuál es la densidad de las bolas?.
Respuesta: ρ = 1349,4 kg.m-3


PROBLEMA 03
El centro de masa de un alpinista sobre una roca se encuentra a una altura h = 24 m por encima del suelo. El último aseguramiento (lugar donde la cuerda del escalador atraviesa un círculo metálico unido a la roca) está a una altura ho = 20 m. El escalador resbala y cae. ¿Qué tan cerca a la tierra llega durante su caída?
El módulo de Young de la cuerda es E = 100 MPa, su radio r = 0,5 cm y la masa del escalador m = 70 kg. Despreciar la masa de la cuerda y toda fricción y suponga que la cuerda está unida al escalador en su centro de masa. Todas las distancias se dan con respecto al dispositivo de seguridad que está fijada en el suelo y no se mueve durante la caída. La aceleración de la gravedad local es g = 9.81 m.s-2.
Respuesta: 7,7 m


PROBLEMA 04
Hay un divisor movil en un recipiente cilíndrico cerrado que separa dos cámaras. Una de las cámaras contiene 25 mg de N2, mientras que el segundo contiene 40 mg de He. Supongamos que el estado de equilibrio es alcanzado. ¿Cuál es la relación de las longitudes de las cámaras en el estado de equilibrio? Suponga el comportamiento de gas ideal. Su respuesta debe ser menor que 1.
Respuesta: 0,089


PROBLEMA 05
Queremos galvanizar (en solución de sulfato de cobre) una esfera de hierro de masa mFe = 8 kg y densidad ρFe = 8 g.cm-3. Nuestro objetivo es una capa de cobre r = 2 mm de espesor. La densidad del cobre es ρCu = 9 g.cm-3 y se aplica una corriente constante I = 0,5 A. ¿Cuánto tiempo toma el proceso? Indique su respuesta en días redondos (es decir, 3.238 días son 4 días).
Respuesta: 62


PROBLEMA 06
Sucede que hemos olvidado un resorte con longitud natural l = 0,5 m y una constante k = 5 N.m-1 en el espacio exterior. Hay una masa m1 = 1 kg unida a un extremo del muelle, mientras que en el otro extremo, hay una masa m2 = 3 kg. Calcular el periodo de pequeñas oscilaciones del sistema.
Respuesta: 2,43 s


PROBLEMA 07
Un globo cerrado de helio despega de la superficie de la Tierra, donde la temperatura y la presión son 300 K y 101 kPa, respectivamente. Eventualmente, este alcanzará un punto en donde la temperatura y la presión son 258 K y 78 kPa respectivamente. Suponiendo que el globo es de forma esférica inicialmente con radio de 10 m, encontrar el factor en el que se incrementará su radio. El globo está en equilibrio termodinámico con su entorno. No tener en cuenta la tensión superficial del globo.
Respuesta: 1.037


PROBLEMA 08
Los bordes de una pirámide de base cuadrada están hechos de alambres conductores que conectan todos los vértices. Calcular la resistencia entre los vértices opuestos de una diagonal de la base, dado que la resistencia de un metro del alambre es 1 Ω, la altura de la pirámide es √7 m y la longitud de la base es de 2 m.
Respuesta: 1,5 Ω


PROBLEMA 09
Considere un planeta y su satélite natural orbitando alrededor de su centro de masa común, donde el movimiento tiene lugar en un plano. La magnitud de la velocidad tangencial del satélite, definido respecto al centro de masas del sistema, es 2,5 km.s-1. Encontrar la relación de la masa del planeta y la masa del satélite a fin de que el centro de masa del sistema se encuentre localizado en la superficie del planeta, dado que las órbitas son circulares. La masa del planeta es Mp = 7,6.1024 kg, su radio es Rp = 7 436 km y el radio del satélite es Rm = 1 943 km.
Respuesta: 9,91


PROBLEMA 10
Considere una fuente emisora de electrones con una velocidad de emisión de v = 1,5.107 m.s-1. En un punto P, los electrones entran en un campo magnético homogéneo de magnitud B = 1.10-3 T. El vector velocidad de los electrones en P forma un ángulo φ = 15o con el vector campo magnético. Encontrar la distancia de P al punto por donde los electrones cruzan nuevamente la línea de campo que pasa por P.
Respuesta: 0,52 m


PROBLEMA 11
Un apasionado amante de árboles (que pesa solo m = 50 kg) se enteró de que el municipio decidió cortar su árbol favorito. Él se subió a la cima de su verde amigo homogéneo creyendo que esto mantendría alejados a los asesinos de árboles. Sin embargo, los leñadores vinieron y cortaron el árbol de altura h = 10 m y masa M = 1 t. ¿Cuál fue la velocidad con la que el amante de árboles, inicialmente en reposo en la cima del árbol, golpea el suelo? La aceleración debida a la gravedad es g = 9.81 m.s-2.
Respuesta: 16,8 m·s−1


PROBLEMA 12
Imaginemos que tienen un núcleo con número de nucleón A = 36, número de protones Z = 17 y la masa de mk = 5,99965.10-26 kg ¿Qué sería la suma de las energías de enlace en el núcleo en una mol de núcleos de este elemento? Proporcione su respuesta en TJ.
Respuesta: 14,0 TJ


PROBLEMA 13
Dos locomotoras A y B se mueven con velocidades vA = 15 m.s-1 en hacia la derecha y vB = 30 m.s-1 hacia la izquierda, uno frente al otro en los rieles paralelos. La locomotora A silba a un frequencia de 200 Hz. La velocidad del sonido es 340 m.s-1. Asumamos que algunas de las ondas sonoras se reflejan en B y regresan a A. Con qué frecuencia escuchará el sonido el ingeniero en la locomotora de A? Suponga que la dirección hacia la derecha es positivo y que el medio ambiente no se mueve.
Respuesta: 261 Hz


PROBLEMA 15
Pepa necesita lentes con distancia focal f = 50 cm para ver claramente su crucigrama favorito a una distancia D = 25 cm de sus ojos. Las gafas están a d = 2 cm de sus ojos, que tiene una distancia focal fo = 2 cm. ¿Qué distancia focal (en centimetros) debe tener los lentes de contacto de Pepa - que están en contacto directo con el ojo - para que Pepa aún pueda ver claramente el crucigrama sin ningún cambio en la distancia focal de la lente del ojo? Tratar a todos las lentes como delgadas.
Respuesta: 56,9 cm


PROBLEMA 17
Encontrar la masa de un gas comprimido que es equivalente a un litro de gasolina con un poder calorífico de L = 30 MJ.L-1, dado que usamos aire como nuestro gas de nuestro trabajo con una presión inicial de po = 200 Pa, donde patm = 105 hPa es la presión atmosférica. Supongamos, además, que la densidad del aire a la presión atmosférica es ρatm = 1,3 kg.m-3, que exhibe comportamiento de gas ideal y que el proceso de expansión se lleva a cabo isotérmicamente sin ninguna pérdida de energía.
Respuesta: 73,6 kg


PROBLEMA 18
Un objeto cilíndrico de radio de r = 0,5 m, altura l = 3 m y masa de dos toneladas está flotando en agua de densidad ρ de manera que el eje del cilindro permanece en posición vertical. Desplazamos el cilindro una distancia vertical Δx = 1 mm de su posición de equilibrio. Encontrar el período de las oscilaciones del cilindro (en segundos). La aceleración debida a la gravedad es g = 9.81 m.s-2.
Respuesta: 3,2 s



PROBLEMA E1
Filip, que es daltónico y está equipado con un láser He-Ne rojo (que proporciona luz con longitud de onda λ1 = 633 nm), decidió medir el índice de refracción de su pequeño vaso de vidrio de borosilicato (designado como BSC7) para la longitud de onda de su láser (correspondiente al color rojo). El método utilizado fue medir el ángulo crítico de refracción del haz de láser incidente sobre la interfaz vidrio-vacío y deducir el índice de refracción del mismo. Sin embargo, debido a un error, él usa un láser verde (longitud de onda λ2 = 555 nm) en vez de la roja. Encuentre el error relativo de su resultado en términos de partes por mil, asumiendo que la medida no estubo sujeto a otros errores de otro tipo. Para el vidrio BSC7 tenemos los índices de refracción respectivos para las longitudes de onda λ1 = 633 nm y λ2 = 555 nm son n1 = 1,51508 y n2 = 1,51827.
Respuesta: 2,1 %

domingo, 2 de diciembre de 2012

Choques elásticos múltiples

Me comentan que este problema fue propuesto el día de hoy en un examen parcial en la CEPREUNI.
PROBLEMA
Cinco cuerpos se colocan sobre una línea recta tal que sus masas consecutivamente son m, m/2, m/4, m/8, m/16 respectivamente. Por la misma recta se mueve un cuerpo de masa 2m con velocidad 9/16 m/s y choca con el cuerpo de masa m. Después de los choques la velocidad que adquiere el cuerpo de masa m/16 es (en m/s). (Los choques son elásticos y no hay fricción con el piso).
Resolución
Como la razón entre las masas de los bloques de izquierda a derecha se encuentran en progresion geométrica de razón K = 1/2, y todos los choques son elasticos, es de esperar que la velocidad con que se mueve cada bloque despues del choque sea un porcentaje de la velocidad que tenia el cuerpo que lo empujó antes del choque.
Por otro lado, como los choques son elásticos, se cumple que la velocidad relativa de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de alejamiento despues del choque.
En cada choque se cumplirá el principio de conservación de la cantidad de movimiento antes y que la velocidad relativa antes y despues del choque son iguales.
Teniendo en cuenta estos criterios, analizaremos el primer choque y luego generalizaremos estos resultados a los choques subsecuentes.
Se plantean las siguientes ecuaciones:
Resolviendo estas ecuaciones:
Según esto la velocidad del bloque 2 es igual al doble de la velocidad del bloque 1 entre 1 mas la razón de sus masas. Esta misma relación se puede usar para determinar las velocidades de los demas bloques:
Reemplazando datos en esta última ecuación deducimos que la rapidez del último bloque es de 2,37 m/s.
A primera vista puede parecer extraño que la velocidad del último bloque sea mayor que la del primero, pero es facilmente explicable ya que al ser la masa del bloque "chocado" menor que la del bloque "chocador" su velocidad del primero será mayor que la que tenía el segundo.

viernes, 30 de noviembre de 2012

Concurso Nacional Escolar 2013-1

domingo, 18 de noviembre de 2012

Trabajo realizado para hundir un bloque en dos líquidos

El día de hoy domingo 18 de noviembre se llevó a cabo la tradicional evaluación de profesores que realiza anualmente la corporación educativa Trilce a todas sus planas docentes.
En esta evaluación se propuso un problema a la plana de Física que me parecio interesante:
PROBLEMA
Se deja flotar un cubo de arista igual a L = 20 cm en un recipiente que contiene aceite y agua como se muestra en la figura. Considerando ρcubo = 0,32 g/cm3, ρaceite = 0,8g/cm3 y ρagua = 1 g/cm3, hallar el trabajo mínimo necesario de una fuerza vertical hacia abajo que permite ubicar el cubo íntegramente sumergido en agua. (g = 10 m/s2)
Resolución
Primero determinemos la profundidad a la cual el cubo se encuentra en equilibrio sumergido en aceite. Haciendo diagrama de cuerpo libre y considerando que solo dos fuerzas actuan sobre el cubo, tenemos que:
Es decir, el cubo se encuentra sumergido 8 cm y por tanto h = 2 cm.
El trabajo necesario para sumergir el cubo será mínimo cuando este se hunda muy lentamente. Según esto, determinaremos este trabajo como una diferencia de energías potenciales entre la posición final e inicial. La posición final del cubo está definida por y1 = L + 0,5L = 30 cm.
Determinemos la energía potencial hidrostática en la posición inicial y final. La energía potencial hidrostática en la posición inicial:
La energía potencial hidrostática en la posición final:
La energía potencial gravitatoria en la posición inicial, respecto del nivel de referencia mostrado en la figura:
Finalmente, por el teorema del trabajo y la energía mecánica: